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12 de abril de 2017 | por: Equipo Comunicación | 0 comentarios

Cálculo estructural: El Método de los Elementos Finitos

A lo largo de la historia, la evolución del la ciencia ha permitido una constante mejora en los métodos de análisis de sistemas físicos que se ha traducido en una predicción cada vez más fina del comportamiento de los elementos a través de expresiones numéricas.

El cálculo estructural ha experimentado en las últimas décadas un importante impulso gracias al desarrollo de nuevas herramientas matemáticas que, trasladadas al desarrollo informático también en auge, han permitido desarrollar guarismos tan complejos como eficaces.

Fruto del desarrollo científico y la investigación matemática y computacional es el método que se impone en nuestros días para el análisis tensional y de deformaciones de los sistemas estructurales: El Método de los Elementos Finitos (MEF).

El MEF es un método por aproximación numérica que parte del conocido Método Matricial, elevándolo de modo “discreto” a “continuo”.

La gran ventaja que aporta el Método de los Elementos Finitos sobre el Método Matricial es la capacidad de evaluar estructuras de más de una dimensión. Es decir, si el Método Matricial sólo admite modelos de barras, el MEF permite además modelos tipo área y volúmenes.

Esto nos permite que, por ejemplo, podamos calcular una losa como un medio continuo y no como un emparrillado, tal y como nos obligaba el Método Matricial.

Aunque el Método de los Elementos Finitos no deja de ser también una aproximación, ya que la precisión del modelo dependerá del tamaño y forma de los trozos (Elementos Finitos) en los que discreticemos la pieza, la posibilidad de introducir elementos en 2D o 3D nos ofrece mucha mayor precisión a la hora de obtener resultados que un modelo construido sólo con barras 1D.

La clave reside en el número de nodos y cómo interactúan entre ellos. En un modelo matricial de barras, contamos con un nudo inicial y final (extremos de las barras), aplicamos las ecuaciones de compatibilidad que contienen la rigidez longitudinal de la barra y hallamos el equilibrio mediante los esfuerzos, los desplazamientos y las acciones aplicadas en ellos.

Si dividimos una barra en trozos más pequeños, con el método matricial obtendremos esfuerzos y desplazamientos intermedios, pero la precisión será la misma, puesto que las condiciones de contorno se interpolan a los nudos generados en la división. Véase el ejemplo desarrollado en el siguiente enlace.

Con el Método de los Elementos Finitos, disponemos de un código matemático mucho más potente en el que juega un importante papel la denominada Matriz de Aproximación o Matriz de Funciones de Forma [N] que rigen el comportamiento del elemento en la zona intermedia a los Nodos.

En un Elemento Finito contamos con varios nodos en función de la geometría del mismo:

Barra

Método de los Elementos Finitos

Superficie triangular

Método de los Elementos Finitos

Superficie cuadrangular

Método de los Elementos Finitos

Cada uno de estos nodos cuenta con un conjunto de grados de libertad y una serie de cargas asignadas.

A partir de esos nodos se establecen las mencionadas Matrices de Aproximación o Matrices de Funciones de Forma [N] que se desprenden de varias expresiones polinómicas que definen el comportamiento de la zona intermedia a los nodos.

El grado de estas expresiones polinómicas redunda en la precisión del modelo.

Así, se pueden conocer valores de desplazamientos intermedios a partir de los desplazamientos de los nodos usando como función de interpolación la matriz de aproximación.

Una vez conocida [N] se ha de buscar la matriz de rigidez [K].

Para ello, el método extendido es el del Principio de los Trabajos Virtuales, consistente en generar una ecuación de igualdad entre los trabajos internos y externos:

Trabajo Virtual Externo =  Trabajo Virtual Interno

Dadas unas fuerzas y tensiones reales y unos desplazamientos y deformaciones virtuales, el Trabajo Virtual Externo es el que producen las Fuerzas Reales sobre los Desplazamientos Virtuales y Trabajo Virtual Interno es el que producen las Tensiones Reales sobre las Deformaciones Virtuales.

Se llega a una expresión como la que sigue:

Método de los Elementos Finitos

Introduciendo en la ecuación anterior las condiciones de Compatibilidad (desplazamientos – deformaciones) y de Comportamiento (Ley de Hooke), se llega a la expresión:

                                        Método de los Elementos Finitos

A partir de la cual se trabaja igual que con el Método Matricial para obtener la incógnita δ.

Como se puede comprobar en esta sucinta explicación, el Método de los Elementos Finitos es matemáticamente mucho más complejo que otros métodos lineales como el matricial, sin embargo aporta más precisión y sobre todo más capacidad para modelizar estructuras fuera del rango de los elementos barra.

Si bien su manejo matemático se antoja tedioso, afortunadamente contamos en el mercado con numerosos programas informáticos, como el SAP 2000, capaces de generar por sí solos estas ecuaciones a partir de un modelo gráfico y resolverlas numéricamente en poco tiempo para permitir al proyectista conocer un comportamiento veraz de su estructura, reduciendo su actividad al importante trabajo de la introducción de los “imputs” y el tratamiento de los “outputs”.

Autor: José Cándido, profesor del Máster en Cálculo de Estructuras de Obra Civil y del Curso de SAP 2000

Máster en Cálculo de Estructuras de Obra Civil

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